【基本情報技術者を目指す皆様へ】
・今回は２進数の足し算と引き算について教えます！
・実際にPythonでコンピュータでの計算を行い、疑問の解決につなげます。
コードが知りたい方は目次のソースコードへ飛んでください！
本記事のテーマ
説明
結論！？
「１０進数も２進数も変わりません！」（現実世界では）
まずは手で計算してみます。
ただし、コンピュータの世界では引き算という概念がありません！
コンピュータに引き算がない理由！
これは、コンピューターの演算装置の元は半加算器で、これを2つ繋げて全加算器を構成していますが、減算機というものがコンピュータにないからです。
なぜないのかというと、効率の問題で、加算器用の回路と減算機用の回路を作るより加算器用の回路のみで加減算ができるなら、回路の規模が小さくなり、効率が良くなるからです。
では、加算器のみで減算を行うにはどうすればいいのか？
２の補数という概念！
加算器で減算を行うには単純に
２＋（−３）＝ −１
のように負の数を足せば良いのです。
ですので、「正の数と負の数」両方を表現できる方法が必要になりますがそれが「２の補数」なのです。
ただし、以下のような表現では正しく計算できません！
そこで出てくるのが補数という概念です。
補数とは
「その桁数での最大値を得るために補う数」、「次の桁に繰り上がるために補う数」
例：１２３４という１０進数があったとする。
４桁の最大値 いくつ足せば最大値になるかというと
９９９９ → ９９９９ ー １２３４ ＝ ８７６５ ← これを「９の補数という」
次の桁に繰り上がる数 いくつ足せば繰り上がるのかというと
１００００ → １００００ ー １２３４ ＝ ８７６６ ← これを「１０の補数という」
これを２進数に置き換えると、
３桁の最大値 いくつ足せば最大値になるか
１１１ → １１１ ー ００１ ＝ １１０ ← これが「１の補数」
次の桁に繰り上がる数
１０００ → １０００ ー ００１ ＝ ０１１１ ← これが「２の補数」
この２の補数を使って計算してみます。
２の補数による計算
ここで、コンピュータの演算は８ビットとする。
０００００１０１ （５） ←８ビットの２進数
＋１１１１１０１１ （？） ←上の数の２の補数
ーーーーーーーーーーーーー
＝１００００００００ （？）
８ビットの数とその補数を足すと、当たり前ですが桁上がりして９ビットより右は'０'になります。
このコンピュータは８ビットしか計算できないため、９ビット目は破棄されます。
その結果、答えは'０'になります。
つまり、
５ ＋ （−５） ＝ ０
０００００１０１ ＋ １１１１１０１１ ＝ ００００００００
が実現できました。
２の補数を一回一回計算するのは面倒なため、次のようにすると簡単に求まります。
（ ５）：０００００１０１ ←全ビットを反転する
１１１１１０１０ ←それに'１'を加える
（−５） ：１１１１１０１１ ←「２の補数」
３ビットの２進数と１０進数の対応表（２の補数）
２進数 ｜ １０進数 ｜
ーーーーーーーーーー ｜
０００ ｜ ０ ｜
００１ ｜ １ ｜
０１０ ｜ ２ ｜
０１１ ｜ ３ ｜
１００ ｜ −４ ｜
１０１ ｜ −３ ｜
１１０ ｜ −２ ｜
１１１ ｜ −１ ｜
ーーーーーーーーーー ｜
以上で２進数の足し算と引き算の説明は終了です！
今まで１０進数で生きてきたのに急に２真数と言われればびっくりすると思いますが、覚えれば簡単なので一つ一つ覚えて基本情報技術者になりましょう！
最後にPythonで実際に２進数の計算をしてみたいと思います！
Pythonで２進数の足し算と引き算
Code
if __name__ == "__main__" :
a = 0b00000101 # 5
b = 0b00000001 # 1
print ("a :", a)
print ("b :", b)
print("a+b:", a+b)
print ("")
print("２の補数")
a = 0b00000101 # 5
b = ~a + 0b01 # -5
print ("a :", a)
print ("b :", b)
print ("a+b:", a+b)
出力
a : 5
b : 1
a+b: 6
２の補数
a : 5
b : -5
a+b: 0
参考資料
・キタミ式イラストIT塾 基本情報技術者 平成31/01年